8 Die reellen Zahlen R oder R1

In Kapitel 7 fanden wir, dass die Struktur (R, +, ⋅) ein Körper ist. Beide Verknüpfungen (R x R) → R, Addition und Multiplikation, sind kommutativ und assoziativ, und die Multiplikation ist distributiv bezüglich der Addition, für beide Verknüpfungen existiert je ein neutrales Element, und für jedes Element in R existiert ein additiv inverses Element, und für jedes Element außer null existiert ein multiplikativ inverses Element.
Die Körperaxiome
Seien a, b, c reelle Zahlen.
A1. a + b = b + a und ab = ba (Kommutativität)
A2. a + (b + c) = (a + b) + c und a(bc) = (ab)c (Assoziativität)
A3. a(b + c) = ab + ac (Distributivität)
A4. ∃ 0, 1 ∈ R, 0 ≠ 1 | ∀ a ∈ R a + 0 = a und a ⋅ 1 = a (Neutrales Element)
A5. ∀ a ∈ R ∃ -a ∈ R | a + (-a) = 0 und ∀ a ∈ R, a ≠ 0, ∃ a-1R | a ⋅ a-1 = 1 (Inverses Element)
Die Ordnungsaxiome
A6. a < b, a = b, a > b (Trichotomie)
A7. a < b ∧ b < c → a < c (Transitivität)
A8. a < b → a + c < b + c ∀ c und ac < bc ∀ c > 0 (Monotonie)
Die Körperaxiome A1 bis A5 werden von den komplexen Zahlen erfüllt. C kann aber nicht angeordnet werden. Mit A1 bis A8 ist die Menge der rationalen Zahlen Q ein angeordneter Körper. Für praktische Anwendungen gibt es an Q nichs auszusetzen, denn jede irrationale Zahl kann in Q beliebig genau angenähert werden. Für jede reelle Zahl x und für jede beliebig kleine zulässige Abweichung ε existiert eine rationale Zahl y mit |y – x| < ε. Was das Interesse an den Zahlen selbst betrifft, hat Q aber Lücken. Zum Beispiel sind der Umfang eines Kreises und sein Durchmesser inkommensurabel, die Kreismessungszahl pi ist deshalb irrational, sogar transzendent. Es gibt unendlich viele Primzahlen und deren Quadratwurzeln sind alle nicht rational, etc.
Mit einem neunten Axiom wird der Körper Q zum Kontinuum, dem ordnungvollständigen Körper der reellen Zahlen R ausgebaut. Dazu brauchen wir ein paar neue Begriffe.
Intervalle
Die Menge {x ∈ R | a < x < b} =: (a, b) ist das offene, und {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} =: [a, b] ist das abgeschlossene Intervall mit den Randpunkten a und b.
x0 := (a + b)/2 ist der Mittelpunkt, (b – a)/2 ist der Radius und b – a ist die Länge des Intervalls.
Die Intervalle mit Mittelpunkt x0 und Radius r, Ur(x0) und Ur[x0] bezeichnet man als (offene oder abgeschlossene) r-Umgebung von x0.
Eine Folge abgeschlossener Intervalle In := [an, bn] heißt Intervallschachtelung, wenn an → y und y ← bn. Einseitige und zweiseitige unendliche Intervalle sind (-∞, b), (a, +∞) und (-∞, +∞).
Offene Überdeckung
Eine Menge G offener Intervalle wird eine offene Überdeckung des abgeschlossenen Intervalls [a, b] genannt, wenn jedes x ∈ [a, b] in mindestens einem der offenen Intervalle in der Menge G enthalten ist.
Das Vollständigkeitsaxiom
A9. Für jede offene Überdeckung G eines abgeschlossenen Intervalls [a, b] gibt es eine endliche Teilmenge G' ⊂ G die bereits [a, b] überdeckt (endliche Überdeckung).
Während die rationalen Zahlen abzählbar sind, sind die reellen Zahlen überabzählbar. Gemäß der Kontinuumshypothese ist die Kardinalität der reellen Zahlen |R| = 2|Q| = c.
Schranken, Minima, Suprema, etc.
Sei X ⊂ R.
Wenn ∃ a ∈ R | a ≤ x ∀ x ∈ X, dann heißt a eine untere Schranke von X und X heißt nach unten beschränkt.
Wenn ∃ b ∈ R | x ≤ b ∀ x ∈ X, dann heißt b eine obere Schranke von X und X heißt nach oben beschränkt.
X heißt beschränkt, wenn X sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist.
Ist X nach unten beschränkt, heißt seine größte untere Schranke das Infimum von X (inf X).
Ist X nach oben beschränkt, heißt sein kleinste obere Schranke das Supremum von X (sup X).
Hat X ein Minimum, dann gilt inf X = min X.
Hat X ein Maximum, dann gilt sup X = max X.
Wir müssen also nach Infimum und/oder Supremum greifen, wenn eine Menge kein Minimum und/oder kein Maximum hat. (Offene oder halboffene Intervalle.)
Hier sind einige Aussagen die zum Vollständigkeitsaxiom A9 äquivalent sind. Die eine Aussage kann aus der anderen hergeleitet werden:
⋅ Ein Dedekind'scher Schnitt hat genau eine Trennungszahl.
⋅ Das Intervallschachtelungsprinzip.
⋅ Jede Cauchyfolge (an) konvergiert.
⋅ Das Supremumsprinzip
Wir wollen die Äquivalenz von A9 und dem Supremumsprinzip demonstrieren:
Das Supremumsprinzip:
A9a. Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum.

Beweismethoden
Hier wollen wir kurz innehalten, um einem essentiellen Element der Mathematik ein paar Gedanken zu widmen: wie beweise ich eine Behauptung?
Direkter Beweis: A → B:
Ausgehend von der wahren Aussage A zeigen wir durch Umformen und Folgern dass Aussage B folgt.
Kontraposition:
Anstatt A → B zeigen wir ¬B → ¬A.
Induktion:
(i) Die Aussage A(k) ist wahr;
(ii) wenn A(n) wahr ist, dann ist A(n+1) wahr.
Wir schließen, dass A(n) für alle ganzen Zahlen n ≥ k wahr ist.
Widerspruchsbeweis oder indirekter Beweis:
Um die Behauptung A zu beweisen, treffen wir die Annahme dass A falsch ist und versuchen, diese Annahme zu einem Widerspruch zu führen.
Beispiel: in A4 heißt es, ∃ 1 ∈ R | ∀ a ∈ R a ⋅ 1 = a. Wir wollen beweisen, dass es nur eine Zahl mit dieser Eigenschaft gibt und nehmen deshalb an, dass sei falsch.
Es gibt eine Zahl x mit der gleichen Eigenschaft. Also x = x ⋅ 1 = 1. Widerspruch! ▮

Wir wollen die Äquivalenz von A9 und A9a sogleich beweisen. Zuvor wollen wir den folgenden Satz auseinandernehmen.
STELLING: As X ⊂ R dan is sup X = γ ϵ R as en slegs as
    (i) x ≤ γ vir alle x ϵ X,
    (ii) vir elke reële getal ε > 0 ’n x ϵ X bestaan sodanig dat γ − ε < x.
Das war der erste Beweis in Analysis der mir unterkam, und zwar in Rund [60]; er verursachte mir Unbehagen. War das die Mathematik die ich studieren wollte? Noch heute beschert mir dieser Beweis ein flaues Gefühl im Magen; was ist denn da zu beweisen? Denn normalerweise definiert man das Supremum auf diese Weise. Gerade deshalb wollen wir den Beweis hier durchführen, und natürlich auch, weil er lehrreich ist.
Wir setzen
    A := (γ = sup X)
   (i) := ∀ x ∈ X, x ≤ γ
  (ii) := ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X | γ – ε < x.
Wir müssen beweisen: A ↔ (i) ∧ (ii)
A → (i): γ = sup X → ∀ x ∈ X, x ≤ γ
A → (ii): wir zeigen ¬(ii) → ¬A:
¬(ii) = ∃ ε' > 0 | ∀ x ∈ X, x ≤ γ – ε' → ¬(γ = sup X)
(i) → A: ∀ x ∈ X, x ≤ γ → γ ist eine obere Schranke für X
(ii) → A: wir gehen von ¬A aus und führen einen Widerspruch herbei, indem wir (ii) als wahr erachten:
Angenommen γ', (γ' < γ) ist die kleinste obere Schranke. Wir wählen ε = γ – γ' > 0.
Dann, mit (ii), ∃ x ∈ X | γ – ε = γ - (γ – γ') = γ' < x. Das würde bedeuten, dass γ', im Gegensatz zu unserer Annahme, keine obere Schranke für X darstellt. ▮

Wir beweisen nun, dass die Axiome A9 und A9a äquivalent sind:
Wir gehen davon aus, dass A9 wahr ist und beweisen nun, dass eine Menge X die nach oben beschränkt ist, eine kleinste obere Schranke besitzt. Da X nach oben beschränkt ist, gibt es eine obere Schranke b. Wir nehmen an, X besitzt keine kleinste obere Schranke, und leiten mithilfe von A9 einen Widerspruch her. Wir wählen ein beliebiges a ∈ X und es gilt, gemäß unserer Annahme, a < b. (a kann keine obere Schranke sein, b ist eine obere Schranke). Wir zerlegen [a, b] wie folgt:
P = {y | y ∈ [a, b] und y ist keine obere Schranke von X}
Q = {y | y ∈ [a, b] und y ist eine obere Schranke von X}.
Wir haben P ∪ Q = [a, b] und P ∩ Q = ∅. Weiters ist P ≠ ∅ da a ∈ P und Q ≠ ∅ da b ∈ Q. Wir konstruieren eine offenen Überdeckung für [a, b] indem wir für jedes y aus [a, b] einen offenen Intervall erstellen. Wir wählen als extreme Randpunkte ein beliebiges a0 < a und ein beliebiges b0 > b.
(i) Ist y ∈ P, wählen wir den Intervall (a0, p(y)), wobei p(y) ∈ X und p(y) > y. Eine derartige Wahl ist immer möglich, da y keine obere Schranke für X darstellt. Wir bemerken, dass y ∈ (a0, p(y)) and dass (a0, p(y)) ∩ Q = ∅, da p(y) ∈ X.
(ii) Ist y ∈ Q, wählen wir den Intervall J(y) = (q(y), b0), wobei q(y) ∈ Q und q(y) < y. Eine derartige Wahl ist stets möglich, da y eine obere Schranke von X ist und gemäß der Annahme, dass X keine kleinste obere Schranke besitzt. Wir bemerken, dass y ∈ (q(y), b0) und dass (q(y), b0) ∩ P = ∅, da q(y) ∈ Q.
Die Menge der offenen Intervalle I(y) und J(y) bilden eine Überdeckung von [a, b]. Gemäß A9 existiert eine endliche Teilüberdeckung, zum Beispiel
{I(y1), I(y2), … , I(ym), J(ym+1), … , J(yn)}.
In Anbetracht der Tatsache, dass J(yr) ∩ P = ∅ für jedes J(yr) gilt, bilden die Intervalle I(y1), I(y2), … , I(ym) eine Überdeckung von P. Sei p(yk) das größte der endliche vielen p(y1), p(y2), … , p(ym). Da p(yk) ∈ P, folgt p(yk) ∈ I(yd) für ein gewisses d. Das heißt aber, dass p(yk) < p(yd) entgegen der Tatsache, dass p(yk) die größte der Zahlen p(y1), p(y2), … , p(ym) ist. Von diesem Widerspruch leiten wir ab, dass X ein Supremum besitzt. ▮

Nun zum Beweis A9a impliziert A9. Angenommen, [a, b] wird überdeckt von G, einer unendlichen Menge offener Intervalle. Zum Zweck dieses Beweises nennen wir eine Teilmenge G' ⊂ G zulässig, wenn sie den folgenden zwei Anforderungen genügt.
(a) G' besteht aus endlich vielen Intervallen I1, I2, … , In
(b) Jedes x aus [a, b] wird von der Vereinigung der Ij überdeckt.
Es gibt zulässige Teilmengen von G; beispielsweise ist jeder Intervall I ∈ G für den a ∈ I gilt, zulässig. Wenn nun G' = {I1, I2, … , In} mit Ii = (ai, bi) eine zulässige Teilmenge ist, setzen wir max(bi) = c(G'). Wenn für ein gewisses G' gilt, b < c(G'), dann ist G' offensichtlich eine endliche Überdeckung von [a, b].
Wir unterstellen nun, dass c(G') ≤ b für alle zulässigen G' und beweisen dann, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt.
Wenn c(G') ≤ b, dann auch sup c(G') = r ≤ b. Gemäß unserer Annahme (A9a) existiert dieses Supremum. Da r ∈ [a, b], existiert ein Intervall g ∈ G, sodass r ∈ g. Wir wählen nun ein zulässiges G'' sodass c(G'') ∈ g (stelling). Aber die Menge G''', die aus den Intervallen von G'' zusammen mit dem Intervall g besteht, ist auch zulässig und deshalb gilt c(G''') > r, da r ∈ g. Das ist im Widerspruch zu der Annahme, dass c(G') ≤ r für jedes zulässige G'. Das vervollständigt den Beweis für A9 ↔ A9a. ▮

Wir konstruieren nun eine unendliche Überdeckung des abgeschlossenen Intervalls [1, 2] rationaler Zahlen, für die keine endliche Teilmenge existiert, die [1, 2] überdeckt.
Für jede natürliche Zahl n bilden wir den offenen Intervall In = (0, an). Hier ist an die größte n-stellige Dezimalzahl mit (an)2 < 2.
Für jede natürliche Zahl n bilden wir den offenen Intervall Jn = (bn, 3). Hier ist bn die kleinste n-stellige Dezimalzahl mit (bn)2 > 2.
Wir beweisen nun, dass die zwei Mengen von Intervallen
{In} = {(0, 1), (0, 1.4), (0, 1.41), (0, 1.414), … } und
{Jn} = {(2, 3), (1.5, 3), (1.42, 3), (1.415, 3), … } zusammen [1, 2] überdecken.
Wir bemerken, dass a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ … und dass b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ b4 ≥ …
Angenommen, α ∈ [1, 2] wird nicht überdeckt, also an < α < bn, für alle n und daher
(an)2 < α2 < (bn)2     …    (1)
und
α2 - 2 < (bn)2 – 2.     …    (2)
Da auch 2 - (an)2 > 0 für alle n gilt, folgt aus (2) dass
α2 - 2 < [(bn)2 – 2] + [2 – (an)2] = (bn)2 – (an)2     …    (3)
Nun ist (bn)2 – (an)2 = (bn + an)(bn – an) ≤ 3 · 10-n+1 und es folgt aus (3) dass α2 - 2 < 3 · 10-n+1 für alle n.
Das ist nur möglich, wenn α2 - 2 ≤ 0 or
α2 ≤ 2     …    (4)
Weiterhin folgt aus (1) dass 2 - α2 < 2 – (an)2.     …    (5)
Da (bn)2 – 2 > 0, folgt aus (5) dass
2 - α2 < [2 – (an)2] + [(bn)2 – 2] = (bn)2 – (an)2.
Wir haben daher 2 - α2 ≤ 0 und somit
α2 ≥ 2.     …    (6)
Aus (4) und (6) folgt
α2 = 2.
Das ist im Widerspruch zu der Tatsache, dass es keine rationale Zahl α gibt, die diese Gleichung erfüllt. Die Menge von Intervallen {In} und {Jn} formen eine Überdeckung für [1, 2]. Aber keine endliche Teilmenge dieser Intervalle bildet eine Überdeckung für [1, 2]. Wählt man die endliche Teilmenge
{Ir1, Ir2, … ,Irn, Js1, Js2, … ,Jsm} wobei
r1 < r2 < … < rn < und s1 < s2 < … < sm, dann ist keine der rationalen Zahlen {x | arn ≤ x ≤ bsm} von diesen Intervallen überdeckt. ▮



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°▫

. ˚ ∘ • ∘ ∀ ∃ ∗ ∙ ⋅ ⋄



a∣b schreiben wir für "a teilt b" (2∣6, 2∤7) und für "sodass gilt" schreiben wir auch einen vertikalen Strich, |. (T := {m | m ∈ N ∧ m∣6} = {1, 2, 3, 6}; lies, T ist die Menge aller m sodass gilt, m ist eine positive ganze Zahl und m teilt 6). ∃ y, ∄ y.

		

1 ∀ ∃ ∄ ∖ ∣ | Ι | ∤ ∈ ∉ ∋ ε ϵ ϶ δ ∂ n0 |am - an| ∄ ∇ ∏ ∑ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔
2 ¬ ¬ ∧ ∨ ∩ ∪ ¬ ¬ ∈ ∉ ∅ ∗ √ ∝ ∞ ∠ ∫ ∴ ∼ ≁ ≅ ≈ ≠ ≡
3 ⋅ · × – — < > ≤ ≥ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥
4 α β γ δ ε ζ η θ ϑ ι κ ϰ λ μ µ ν ξ ο π ρ ϱ σ τ υ φ ϕ χ ψ ω
5 Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
6 • … ‰ ′ ″ ‹ › ‾ ⁄ ™ ◊
7 ¨ © « ® ´ ¶ » ‘ ’ ‚ ‛ “ ” „ ‟ † ‡ ℵ ℵ ℵ ¾ ³ 3 3 &sub3; ℋ (a+b)2(a+b)
8 ☎ ☎ ☎ 27 æ ℵ0 ēĒε
9 ϖ ϒ Ϝ ϝ A∆B AΔB
0 ← ↔ → " & ' € ¢ ¥ £ $ ↑ ↓ ↵ ↞ ↟ ↠ ↡
÷ ∈ ∉ ⁄ ¬divide; ÷ U+2224 U2224 U €
0 < c < P[(0,1)] < P[P[(0,1)]] < P[P[P[(0,1)]]] < ⋅⋅⋅; 0 < c < P[(0,1)] < P[P[(0,1)]] < P[P[P[(0,1)]]] < ⋅⋅⋅; U+02201 = ∁ = Complement
⁄ ∕ = division slash / ≕ ≔   ≮ ≯ ≰ ≱ ≼ ≽ ≺ ≻
Beispiele für Aussagen und deren Negation: a = b, a ≠ b. a ∈ M, a ∉ M. A ⊂ M, A ⊄ M. a < b, a ≮ b. a < b, a ≥ b.

Diese Seite ist im Umbau    18. April 2020: Hier entsteht ab heute eine Seite über gut aufbereitete mathematische Leckerbissen.

sie wird vollständig neu gestaltet

Als ich 21 Jahre alt war, hörte ich im Radio von einem Städter, der sich in eine ländliche Gegend zurückgezogen hatte. Auf die Frage, was er in seiner freien Zeit mache, antwortete er, dass er sich unter anderem mit Mathematik beschäftige. So etwas hatte ich noch nie gehört. Da kamen mir kurz darauf die Bücher Du und die Natur [34] und Du und der Zauber der Zahlen [35], unter.

Paul Karlson
A geschnitten mit B B Teilmenge von A A und B sind disjunkt B ohne A symmetrisch Differenz A vereinigt mit B A x B Potenzmenge

UNISA:

     
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