2 Mathematik ohne Zahlen

Es ist richtig, dass der Mensch schon vor Tausenden von Jahren den Begriff der Zahl erfasste und damit begann, Berechnungen anzustellen, bis dann vor 2500 Jahren einige Philosophen damit anfingen, sich für die Zahlen selbst zu interessieren, losgelöst vom praktischen Gebrauch. Sie erfanden die axiomatisch deduktive Methode und etablierten so die Mathematik als exakte Wissenschaft. Die Philosophie (Liebe zur Weisheit) hatte damit einen Gegenstand gefunden, bei dem man bis zur Wahrheit vordringen kann. Jede kecke Behauptung oder Vermutung muss bewiesen oder kann widerlegt werden. Aber es geschah erst im zwanzigsten Jahrhundert, dass es Mathematikern gelang, die bis dahin vereinzelten Ergebnisse unter ein Dach und auf gemeinsame Fundamente zu bringen. Seither spricht man von der modernen Mathematik; Adler [01]. Seit dieser Zeit geht es an den Universitäten bei den Vorlesungen für Anfänger nicht um Zahlen, sondern um Aussagen und deren Verknüpfungen. Wir müssen sogar so tun, als wären wir Geschöpfe, denen Zahlen gänzlich fremd sind, die aber dabei sind, Verknüpfungen mit gewissen Dingen zu entdecken.
Während Ihrer ersten Wochen an der Universität kann Ihnen das lästig erscheinen. Aber machen Sie das Beste daraus und verinnerlichen sie diese Art zu denken schon möglichst bald im Voraus.
Als ich in dieser Situation war, hatten wir einen blinden Kommilitonen unter uns. Anstatt sich nach der Matura (Abitur) auszuruhen, hatte er gleich hart weitergearbeitet, um nicht auf Grund seiner Behinderung von Anfang an ins Hintertreffen zu geraten. Hin und wieder fragten ihn Dozenten fürsorglich, ob er auch alles mitbekomme. Die unmittelbare Antwort war stets: "Das ist ganz klar". Das war meist zum Missfallen der meisten von uns anderen, die wir nur Bahnhof verstanden hatten, aber nicht den Mumm aufbrachten, nachzufragen. Die meisten Dozenten mögen es, wenn man Fragen stellt.

Mit "A := Heute ist Sonntag", weisen wir dem Platzhalter A einen ganzen Satz zu. Das erleichtert die Arbeit enorm und macht sie übersichtlicher. Wir benützen dazu eine weitere Abkürzung. Mit := definieren wir etwas (Begriffsbildung). Auch =: wird verwendet, der Doppelpunkt ist neben dem zu definierenden Ausdruck. Wir lernen hier auch, dass eine Aussage nicht absolut wahr oder falsch sein muss. Dass sie nur unter bestimmten Umständen wahr sein kann.

3 Aussagen, Wahrheitsgehalt, Äquivalenz

Eine Aussage in der Mathematik muss eine Eigenschaft aufweisen, die man Wahrheitsgehalt nennt, und dieser muss eindeutig sein, nämlich wahr (w) oder falsch (f). Die Negation einer Aussage wird mit dem Zeichen ¬ ausgedrückt. Ist P die Aussage "a ≠ b", dann ist ¬P die Aussage "a = b".
Aussagen können durch Junktoren (Konjunktion ∧ (logisches UND), bzw. Disjunktion ∨ (logisches ODER)) zu komplexeren Aussagen verknüpft werden.
Folgt aus der Aussage A die Aussage B, impliziert also A B (Implikation), schreiben wir kurz A ⇒ B (oder auch B ⇐ A). Gilt sowohl A ⇒ B als auch B ⇒ A, schreiben wir A ⇔ B (Äquivalenz).
Um optisch kurze Aussagen energiesparend hinschreiben zu können, fehlen uns noch die Quantoren ∀ ("Für alle", Allquantor) und ∃ ("Es gibt (mindestens) ein", Existenzquantor). ∃! := "Es gibt genau ein".
Eine Wahrheitstabelle dient der Herleitung von komplexen (zusammengesetzten) Aussagen, durch Verknüpfung von Aussagen durch Junktoren. Wir entwerfen eine Tabelle, in der die rechte Spalte für die gewünschte komplexe Aussage reserviert ist. In die linken Spalten kommen die Aussagen, aus denen die zusammengesetzte Aussage erstellt werden soll. Zwischen den beiden Bereichen sehen wir Spalten vor, die für die benötigten Zwischenergebnisse gedacht sind. Dann beginnen wir damit, alle möglichen Wahrheitsgehalte in die linken Spalten zu schreiben und füllen Schritt für Schritt die Spalten von links nach rechts aus.
Beispiel für eine Wahrheitstabelle: Für zwei Aussagen P und Q setzen wir darunter die mögliche Kombinationen von Wahrheitsgehalten ein. In diesem Beispiel sind es vier Möglichkeiten und daher erhält die Tabelle vier Zeilen.
 P  Q  ¬P  ¬Q  P ∨ ¬Q ¬P ∨ ¬Q  (P ∨ ¬Q) ∧ ( ¬P ∨ ¬Q) 
w w f f w f f
w f f w w w w
f w w f f w f
f f w w w w w

4 Mengen und Teilmengen

Noch haben wir kein Zahlensystem definiert, aber wir wissen, dass es nicht mehr lange dauern kann; auch wissen wir noch aus der Schulzeit, dass wir vorhaben, mit Mengen von Zahlen zu arbeiten.
Wenn man in der Mathematik einen Begriff verwendet, der noch nicht definiert wurde, sagt man, dass man den Begriff naiv benutzt. Noch verwenden wir die verschiedenen Zahlenbegriffe naiv. Beim Begriff der Menge belassen wir es bei der naiven Verwendung, denn die Theorie der Mengenlehre ist für sich schon eine axiomatisch-deduktive Theorie (Halmos [26, 26a], Ebbinghaus [13]), der man sich, bei Interesse, zuwenden kann, wenn man die Treppe der Grundlagen erklommen hat und sich in der großen Empfangshalle des mathematischen Gebäudes umsehen kann.

Unter einer Menge M verstehen wir ein Objekt, das eine Kollektion von wohlunterschiedenen Objekten ist, welche keiner Anordnung unterliegen müssen und die wir die Elemente von M nennen.
Mit { } symbolisieren wir ein Behältnis, das wir die leere Menge nennen, eine Menge also, die kein Element enthält. Für die nicht-leeren Mengen M: = {a, b, a} und {b, a} =: N, ist M = N ein wahre Aussage, weil jedes Element nur einmal zählt und die Reihenfolge nicht relevant ist. Wir haben a ∈ N (a ist ein Element von N) und c ∉ M (c ist kein Element von M).

Man verwendet Grafiken nicht, um etwas zu definieren oder zu beweisen, sondern nur, um sich etwas zu veranschaulichen. Zur Veranschaulichung von Mengen eignen sich Venn Diagramme wie in den Abbildungen 1 bis 6.
Mit C := A ∩ B  = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} ordnen wir C den Durchschnitt oder die Schnittmenge der Mengen A und B zu (Abb 1).
Ist C nicht leer, sind darin alle Elemente enthalten, die sowohl in A als auch in B enthalten sind).
Ist C leer, sagt man A und B sind disjunkt (Abb. 3).
Gilt aber A ∩ B = B, dann schreibt man B ⊂ A (Inklusion) und sagt, B ist eine Teilmenge von A (Abb. 2).
Gilt sowohl B ⊂ A als auch A ⊂ B, dann gilt A = B.
Da { } kein Element enthält, das nicht in jeder anderen Menge enthalten wäre, gilt { } ⊂ M, für jede Menge M.

A geschnitten mit B B Teilmenge von A A und B sind disjunkt

Die Vereinigung zweier Mengen, A ∪ B  = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} enthält alle Elemente, aus A und alle Elemente aus B (Abb. 6). Achtung: A ∪ A = A und nicht 2A.
Die Menge die man erhält, wenn man die Elemente von B hernimmt und alle die Elemente entfernt, die auch in A enthalten sind, bezeichnet man als die Differenz B∖A oder B-A (Abb. 4).
Als die symmetrische Differenz A Δ B zweier Mengen A und B (Abb. 5) bezeichnet man den Ausdruck (A ∖ B) ∪ (B ∖ A) = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B).

B ohne A symmetrisch Differenz A vereinigt mit B
Einige Bezeichnungen sind für spezielle Mengen reserviert:
∅ := { }   (die leere Menge)
N := Menge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3, ...}
N0 := {0, 1, 2, 3, ⋅⋅⋅}
Z := -N ∪ 0 ∪ N = {⋅⋅⋅, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ⋅⋅⋅}     (die Menge der ganzen Zahlen)
Q := {p∕q | p, q ϵ Z ∧ q ≠ 0}, rationale Zahlen = alle (echten, endlichen und alle periodischen unendlichen) Brüche
R := Menge der reellen Zahlen
C := Menge der komplexen Zahlen, wobei C = {(a + ib) | a,b ∈ R, i² = -1}
Es gilt: ∅ ⊂ NN0ZQRC
Mit |M| bezeichnet man die Kardinalität oder Mächtigkeit der Menge M. Bei einer endlichen Menge ist die Kardinalität gleich der Anzahl der Elemente in M (also ein n ∈ N ). Bei einer transfiniten Menge bezeichnet man als Kardinalität die Klasse der Unendlichkeit der Menge M (also ein ℵn ∈ {ℵ0, ℵ1, ℵ2 ... }). Die abzählbaren unendlichen Mengen N, Z oder Q, haben die Kardinalität ℵ0 (Aleph-null). Das Kontinuum c, (R), hat die Kardinalität ℵ1. (Cantorsche Kontinuumshypothese: CH ("Continuum Hypothesis") : 20 = ℵ1). Normalerweise schreiben wir für jede transfinite Menge M, |M| = ∞.
Habe ich eine Menge M mit A ⊂ M, dann heißt B := M∖A das Komplement von A (in M). Beispielsweise bildet die Menge der geraden Zahlen das Komplement der Menge der ungeraden Zahlen (in der Menge der ganzen Zahlen Z).

Potenzmenge einer Menge

Wir können auch Mengen bilden, deren Elemente Mengen sind. Man hüte sich aber davor, Mengen zu bilden, die sich selbst enthalten. Das ist Unsinn und führt zu Antinomien, wahren Aussagen, deren Negation auch wahr erscheint. Die Potenzmenge P(M) einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen von M, inklusive ∅ und M. Ist M := {a, b, c} so ist P(M) := {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,  c}, M}. Bei einer endlichen Menge ist
|P(M)| = 2|M|.

Kartesisches Produkt (Mengenprodukt)

Sind A1, A2, ... , An Mengen, so bezeichnen wir mit A1 x A2 x ... x An deren kartesisches Produkt. Die Elemente dieser neuen Menge werden n-Tupel genannt und haben die Form (a1, a2, ... , an), wobei ai ∈ Ai. Hat A1 n1 Elemente, gibt es n1 Möglichkeiten die erste Stelle im n-Tupel zu belegen. Für die zweite Position gibt es n2 Möglichkeiten ... , für die letzte Position gibt es nn Möglichkeiten. Es ist leicht einzusehen, dass |A1 x A2 x ... x An| = |A1| ⋅ | A2| ⋅ ... ⋅ |An| ist. Ein Beispiel für  Ai = Aj ist R2 := R x R =: C. Die Elemente von C sind die komplexen Zahlen (a, b). An erster Stelle in dem 2-Tupel steht der Realteil, an der zweiten Stelle steht der imaginäre Teil. Die Zahl (a, b) wird auch als a + ib bezeichnet.
R x R ist ein gutes Beispiel dafür, dass eine Menge erst ausgestattet mit Axiomen und Operationen einen bestimmten "Verwendungszweck" erhält. Als C stellt R2 die komplexen Zahlen in der Gaussschen Zahlenebene dar, in der analytischen Geometrie der Ebene ist sie die Menge der Koordinaten der Punkte und in einem 2-dimensionalem Vektorraum kann sie als Elementmenge fungieren.

5 Relationen

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des cartesischen Produkts A x B. Hat A m Elemente und B n, so ist |A x B| = m ⋅ n. Eine Relation aus A x B kann somit höchstens |A x B| Elemente haben. Im anderen Extremfall gar keines, wenn sie nur die leere Menge darstellt, wenn also kein Element aus A mit einem Element aus B die Beziehung aufweist, die man gerade untersucht. Die Elemente sind 2-Tupel, also geordnete Paare (a, b), mit a ∈ A und b ∈ B. Die Menge A der linken Komponenten nennt man das Vorfeld oder den Definitionsbereich Def(R) von R, und die Menge B der rechten Komponenten nennt man das Nachfeld oder den Bildbereich Bild(R) von R. Das geordnete Paar (a, b) darf nicht mit der Menge {a, b} = {b, a} verwechselt werden. Allgemein bezeichnet man eine Relation mit R und für (a, b) ∈ R, schreibt man auch aRb. Normalerweise gibt man einer Relation einen Namen, der die Beziehung zum Ausdruck bringt, an der man Interesse hat. Definiere ich V := "Ist verheiratet mit", kann ich in Zukunft anstatt "Hans (aus A) ist verheiratet mit Johanna (aus B)" schreiben HansVJohanna.
Das in Abb 7 dargestellte cartesische Produkt A x B hat 20 Elemente. Jede Teilmenge daraus stellt eine Relation dar. Sei R die Relation {(e, 3), (c, 2), (a, 4)}, dann gilt z. B. (b, 1) ∉ R aber (e, 3) ∈ R,.
A x B
Sei A := die Menge der Einwohner von Kremsmünster und B := die Menge der Einwohner von Buxtehude, dann gibt es in der Relation "Ist verliebt in" aus A x B meines Wissens nur ein Element. Der Franz aus Kremsmünster ist verliebt in Marion aus Buxtehude. Aus der Relation {(Franz, Marion)} kann man nicht erkennen, ob Marion auch verliebt in Franz ist (Symmetrie) oder ob Marion auch Karl liebt und Franz deshalb auch Karl liebt (Transitivität) oder ob Franz in sich selbst verliebt ist (Reflexivität). Solche Eigenschaften kann man nur in cartesischen Produkten A x A, wie z. B. in R2 ausmachen. Der wichtigste Fall ist deshalb der einer Relationen R zwischen einer Menge M und sich selbst. Man sagt dann R ist eine Relation über M (d. h. R ⊂ M x M).

6 Relationale Strukturen

Eine Menge zusammen mit einer oder mehreren über ihr definierten Relationen nennt man eine relationale (algebraische) Struktur.

Äquivalenzrelation über einer Menge und Partition einer Menge
Ist M eine Menge und R eine Relation über M, dann ist R eine Äquivalenzrelation ⇔
a) x ∈ M ⇒ xRx
b) x, y ∈ M und xRy ⇒ yRx
c) x, y, z ∈ M und xRy und yRz ⇒ xRz
Die Eigenschaften a, b, c werden reflexiv, symmetrisch und transitiv genannt. Eine gängige Bezeichnung für eine Äquivalenzrelation ist ∼. Eine Äquivalenzrelation geht immer einher mit einer Partition (Zerlegung) der Menge M in disjunkte Teilmengen, die Äquivalenzklassen [a] = {x ∈ M | x∼a} von ∼. Die Menge der Äquivalenzklassen C| = {[x] | x ∈ M} enthält also die gleichen Elemente wie M, aber gruppiert in Äquivalenzklassen. Beispiel: die Menge der geraden und die Menge der ungeraden Zahlen sind disjunkt und deren Vereinigung ergibt die Menge der ganzen Zahlen. In dieser Relation haben die geraden Zahlen nichts mit den ungeraden Zahlen zu tun und umgekehrt (gi∼gj, gi≁uj, ui∼uj, ui≁gj).
Teilordnungen (Halbordnungen)
sind Relationen, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv sind. Anstelle von aRb schreiben wir a ≼ b. In der Potenzmenge P(M) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, M} der Menge M = {a, b, c} zum Beispiel, sind die Elemente der Folge ({ }, {b}, {b, c}, {a, b, c}) auf diese Weise vergleichbar. Im Hasse Diagramm in Abb 8 kann man weitere Folgen entdecken.

A x B
Ordnungen
sind Relationen, die irreflexiv, antisymmetrisch und transitiv sind; für aRb schreiben wir a ≺ b. In diesem Fall sind je zwei Elemente der Trägermenge vergleichbar.

7 Die Theorie der Gruppen, Ringe und Körper

Die Gruppe
Eine Gruppe (G, ∘) ist eine nichtleere Menge G zusammen mit einer binären Verknüpfung ∘ definiert auf G, die den folgenden Axiomen genügt:
G1. Assoziativ Gesetz. a, b, c ∈ G ⇒ a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c
G2. Neutrales Element. ∃ e ∈ G | e ∘ x = x ∘ e = x
G3. Inverses Element. ∀ x ∈ G ∃ y ∈ G | x ∘ y = y ∘ x = e.
(G, ∘) ist kommutativ (abelsch) ⇔ a, b ∈ G ⇒ a ∘ b = b ∘ a.
Der Ring
Ein Ring (R, +, ⋅) ist eine nichtleere Menge R zusammen mit zwei binären Verknüpfungen + und ⋅ (Addition und Multiplikation) definiert auf R, die den folgenden Axiomen genügen:
R1. (R, +) ist eine abelsche Gruppe
R2. Die Multiplikation ist assoziativ
R3. Linkes und rechtes Distributivgesetz gelten:
Für alle a, b, c ∈ R
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c, (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a
Ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, ist ein kommutativer Ring. Ein Ring mit Einselement (neutralem Element bezüglich der Multiplikation) ist ein Ring mit 1 oder ein unitärer Ring. Der Nullring ({0}, +, ⋅) wird auch der triviale Ring genannt.
Der Körper
Ein Körper ist ein nichttrivialer kommutativer unitärer Ring in welchem jedes von null verschiedene Element eine Einheit (ein multiplikativ invertierbares Element) ist. Die Struktur ({0, 1}, +, ⋅) ist der kleinstmögliche Körper (hier 1 + 1 = 0). Am vertrautesten sind uns natürliche die körperbildenden Mengen Q, R und C.

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