3D

Hallo! Hello!

Diese Bilder zeigen ein paar dreidimensionale Funktionsgraphen, Grahpen von Funktionen mit zwei Veränderlichen, also von Funktionen die auf einem Bereich der x-y-Ebene definiert sind.

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1. Zuerst etwas Unsichtbares

 
Die Mathematik ist eine Geisteswissenschaft. (Die Zahl, des Geistes höchste Kraft. AISCHYLOS, 525 - 456 v. Chr.) Man beschäftigt sich hier mit gedachten Dingen. In der Natur kann man keine Zahlen finden. In den Anfängen dachte man sich noch keine Zahl Eins, schon gar nicht eine Null. "Eins" war eine Eigenschaft, die jedes Ding hatte, wenn es nicht ent"zwei" war.

 
Als Menschen anfingen sich die Muße zu nehmen, über die Zusammenhäge der Dinge in der Welt nachzudenken, waren die Zahlen eines der Themen. Philosophie und Mathematik liegt beiden das Streben nach Erkenntnis zugrunde.

 
Pythagoras von Samos (*570, +500 v. Chr.) studierte die Schriften von Thales von Milet, der 55 Jahre älter war, und anderen. Nach Reisen in Ägypten und Babylonien, gründete er im Alter von 40 Jahren, in Kroton, einer griechischen Kolonie in Süditalien, die Schule der Pythagoreer, einen Kreis von Menschen mit vielfältigen Interessen: sittlich-religiösen, politschen, astromisch-musikallischen (Sphärenklänge). Die Pythagoreer waren die Ersten, die die Erde als Kugel betrachteten. In ihren Studien legten sie die Grundlagen der Mathematik.

 
Sie waren der Ansicht, mit den ganzen Zahlen und Brüchen von ganzen Zahlen alle Längen ausdrücken zu können, und damit alle Zahlen gefunden zu haben. Der Schock saß tief, als einer, dessen Name nicht überliefert ist, den Beweis erbrachte, dass die Diagonale d des Quadrates mit der Seitenlänge 1, (1² + 1² = d² = 2), keine Bruchzahl ist.

 
Auf dem Taschenrechner erhalten wir für d, die Wurzel aus 2, den Näherungswert

1,414213562 = 1414213562/1000000000

Wir wissen aber noch aus der Schule, dass die genaue Zahl ein unendlicher Dezimalbruch ist. D. h., es gibt keine zwei ganze Zahlen, deren Bruch d ergibt, und seien sie noch so lang, und gingen tausendmal um die Erde und hunderttausendmal zur Sonne und zurück. Ist das nicht erstaunlich und unfassbarer als das Weltall? Wen es interessiert, findet am Ende der Seite den Beweis dafür; und auch einen Beweis dafür, dass es eine reelle Zahl gibt, die zum Quadrat genommen, 2 gibt; just.

 
Einzelne Philosophen erlagen schliesslich ganz dem Zauber der Zahlen und spezialisierten sich auf die Mathematik. Es begann sich eine unerhört spannende, abstrakte Welt aufzutun, unabhängig von der Nützlichkeit zur Lösung konkreter Probleme, wie Landvermessung, Pyramidenbau, Lohn- und Warenabrechnung.

 
200 Jahre nach Pythagoras, kam in Athen Euklid zur Welt. Er lehrte später in Alexandria und schrieb sein 13 bändiges Haupt-Werk 'Die Elemente', eine Abhandlung über die Mathematik seiner Zeit, mit vielen neuen Ideen. Er verwendete Axiome, offensichtliche Wahrheiten. Zum Beweis einer Aussage verwendete er nur diese Axiome und schon bewiesene Aussagen. Diese lückenlose Beweisführung wurde zum Standard.

 
Als Beispiel das Archimedische Axiom (Archimedes von Syrakus lebte ca. 80 Jahre nach Euklid):

 
Jede nicht-leere, und nach oben begrenzte Menge von reellen Zahlen hat eine kleinste obere Schranke

 
Mit diesem Axiom kann man praktisch alles über die reellen Zahlen beweisen.

 
Seit es Computer gibt und die entsprechende Software (beides Kinder der Mathematik) kann man sich manche Dinge veranschaulichen, für die man früher jahrelang hätte rechnen müssen. Hier ein paar solcher Beispiele.

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2. Dreidimensionale Graphen

 
Dreidimensionale Graphen sind Bilder von Funktionen, die einem Punkt in der Ebene mit den Koordinaten (x, y, 0) eine Zahl z zuordnen, die als Höhenlage für einen Punkt genau über dem Ausgangspunkt verwendet wird. Dem Punkt (x, y, 0) wird der Punkt (x, y, z) "aufgesetzt".

 
Ordnet eine Funktion jedem Punkt (x, y, 0) das selbe z zu, dann ensteht eine neue Ebene, z Einheiten über (oder unter) der Ausgangsebene. Da braucht man dann auch nichts rechnen. Es gibt aber vertracktere Funktionen. Da kann man dann auch mit dem Computer nicht für jeden Punkt der Ebene den Funktionswert errechnen, weil auch der nie fertig würde, da es unendlich viele sind, auch nur in einem kleinen Ausschnitt der Ebene. Man wählt daher, je nach Bedarf, einen kleineren oder grösseren Raster und beschränkt sich auf einen kleinen Bereich der von Interesse ist.

 
Das folgende Bild veranschaulicht die mathematische Funktion

f[(x, y)] =

{[sin (2x² + 3y²)] / [x² + y²]}

in der Umgebung des Koordinatenursprungs (0, 0),  nämlich genau auf dem Quadrat mit den Eckpunkten

(3, -3), (3, 3), (-3, 3) und (-3, -3),

f:[-3, 3] x [-3, 3] -> R
(x, y) -> [sin(2x² + 3y²)] / [x² + y²].

Auf dem obigen Bild verläuft die x-Achse von links oben nach rechts unten.

Diese Funktion, hier noch ein Bild mit grösserem Ausschnitt, hat in der Umgebung des Ursprungs (besser zu sehen auf dem vorherigen Bild) Stellen, wo sie nicht differenzierbar ist und gehört deshalb zu den pathologischen Fällen, die Studenten gerne zur Untersuchung überlassen werden. Ungefähr seit dem Jahre 2000 kann man sich derartige Graphen auf dem PC selbst erzeugen.

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f[(x, y)] = {[sin(x · y)} / [x² + y²]}

auf dem Quadrat [-3, 3] x [-3, 3].

Dieses Bild veranschaulicht die mathematische Funktion

f[(x, y)] = cos(x · y)

f:[-3, 3]x[-3, 3] -> R
   (x,y) -> cos (x · y).
Hier noch einmal die selbe Funktion

f[(x, y)] = cos(x · y)

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f[(x, y)] = {[x² - y²] / [x² + y²]}

f[(x, y)] = [x² - y²]

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3. Fraktales

 
Die folgenden Bilder stammen aus der Welt des Apfelmännchens. Mein Freund Friedhelm Uffmann aus Braunschweig ist vor ca. 20 Jahren (1987) durch eine Zeitschrift darauf aufmerksam geworden. Er war unser Berechnungsingenieur und beschäftigte seinen leistungsstarken Rechner über Nacht mit Apfelmännchen, denn die Erzeugung eines Bildes dauerte Stunden. Ein heutiger PC braucht ein paar Minuten für Bilder mit feiner Auflösung.

 
Gaston Julia, ein französischer Mathematiker, untersuchte 1919 Folgen komplexer Zahlen, die bei kleinen Änderungen der Parameter zu unvorhersehbaren Werten führten, also ein chaotisches Verhalten an den Tag legten. Er selbst konnte die Tragweite seiner Entdeckung aber kaum erkennen, weil der Rechenaufwand rieseg ist.

 
Erst in den 1970er Jahren, mit Hilfe eines Grossrechners, entdeckte Benoit Mandelbrot, die Welt des Apfelmännchens. Diese liegt im Bereich des Rechtecks mit den Punkten (-3, -2) links unten und (3, 2) rechts oben. Für jeden Punkt c den man berechnen will (je mehr, je genauer), erzeugt man eine endliche Folge von z.B. 50 (je mehr, je genauer) komplexen Zahlen

z_n = (z_n-1)² + c

mit z₀ = (0, 0); somit ist z₁ = c.

Sobald |z_n| > 2 eintritt, wird abgebrochen (die Folge divergiert dann mit grosser Wahrscheinlichkeit) und der Punkt erhält in der Graphik die Farbe n-1 in der Computer-Farbskala (einen Auszug davon findest du auf der Seite Verschiedenes).

Konvergiert die Folge, wählt man z.B. die Farbe Schwarz. Die Farbzuordnung ist natürlich beliebig, auch in der Reihenfolge.

Weicht man von der beschriebenen Farbzuteilung ab, kann man die Wirkung der Bilder stark verändern:

In Anbetracht dessen, dass Mathe nur "Gedachtes" ist, liefert sie ziemlich konkrete Bilder

In Julia-Mengen und Mandelbrot-Mengen treten immer wieder Selbstähnlichkeiten auf. Das sieht man gut im nächsten Bild. Auf Männchen wachsen immer wieder Männchen:

4. Apfelmännchen